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竞赛题汇编7运动学 相关知识点 匀加速圆周运动角加速度 切向度

归档日期:06-29       文本归类:观察配系      文章编辑:爱尚语录

  竞赛题汇编7运动学 相关知识点 匀加速圆周运动角加速度 切向加速度 径向加速度 一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系置于光滑水平桌面上 弹簧的另一端与固定墙面相连 小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察 此体系的机械能是否守恒 并说明理由。 若不

  竞赛题汇编7运动学 相关知识点 匀加速圆周运动角加速度 切向加速度 径向加速度 一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系置于光滑水平桌面上 弹簧的另一端与固定墙面相连 小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察 此体系的机械能是否守恒 并说明理由。 若不考虑太阳和其他星体的作用则地球 月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都看作是质量均匀分布的球体 它们的质量分别为M和m 地心间的距离为R万有引力恒量为G。学生甲以地心为参考系 利用牛顿第二定律和万有引力定律 得到月球相对于地心参考系的加速度为2RMGam 学生乙以月心为参考系 同样利用牛顿第二定律和万有引力定律 得到地球相对于月心参考系的加速度为2RmGae 。这二位学生求出的地 月间的相对加速度明显矛盾 请指出其中的错误 并分别以地心参考系 以地心速度作平动的参考系 和月心参考系 以月心速度作平动的参考系 求出正确结果。 参考解答 原因是墙壁对于该体系而言是外界墙壁对弹簧有作用力 在运动参考系里此力的作用点有位移 因而要对体系做功 从而会改变这一体系的机械能 因地球受月球的引力作用月球受地球的引力作用 它们相对惯性系都有加速度 故它们都不是惯性参考系 相对非惯性参考系 牛顿第二定律不成立 如果要在非惯性参考系中应用牛顿第二定律 必须引入相应的惯性力 而这两位学生又都未引入惯性力 所以他们得到的结果原则上都是错误的 以地心为参考系来求月球的加速度 地心系是非惯性系 设地球相对惯性系的加速度的大小为ea 则由万有引力定律和牛顿第二定律有 e2MmGMaR 加速度的方向指向月球相对地心参考系 月球受到惯性力作用 其大小 mefma 方向指向地球与月球受到的万有引力的方向相同 若月球相对地心系的加速度为ma 则有 mm2MmGfmaR 加速度的方向指向地球以月心为参考系来求地球的加速度 月心系也是非惯性系 设月球相对惯性系的加速度的大小为ma 则由万有引力定律和牛顿第二定律有 m2MmGmaR 加速度的方向指向地球相对月心参考系 地球受到惯性力作用 惯性力的大小 mMfMa 方向指向月球与地球受到的万有引力的方向相同 若地球相对月心系的加速度为ea 则有 ee2MmGfMaR 三式得e2MmaGR 式表明地球相对月心系的加速度ea与月球相对地心系的加速度ma大小相等 方向相反 与运动的相对性一致 评分标准 本题15分 24届如图所示 一块长为mL00 的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间 图中未画出竖直导轨 从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期sT00 。一小球B放在光滑的水平台面上台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方 到P端的距离为mh80 。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度0使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞 碰撞时间极短 且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞 9smg参考解答 如果小球的水平速度比较大 它与平板的第一次碰撞正好发生在平板的边缘Q处 这时0u的值便是满足题中条件的最大值 如果小球的水平速度0u较小 在它与平板发生第一次碰撞后再次接板时 刚好从平板的边缘Q处越过而不与平板接触 这时0u的值便是满足题中条件的最小值 设小球从台面水平抛出到与平板发生第一次碰撞经历的时间为1t 若碰撞正好发生在Q处则有 01Lut 代入有关数据得0max0 71m su 如果00maxuu小球与平板的碰撞处将不在Q点 设小球第一次刚要与平板碰撞时在竖直方向的速度为1v 则有 12gh v、1V分别表示碰撞结束时刻小球和平板沿竖直方向的速度 由于碰撞时间极短 在碰撞过程中 小球和平板在竖直方向的动量守恒 设小球和平板的质量都是m 则有 111mV mv mv 因为碰撞是弹性的且平板是光滑的 由能量守恒可得 22222mV mvmu mvmu 碰撞后平板从其平衡位置以1V 为初速度开始作简谐振动 取固定坐标 其原点O与平板处于平衡位置时板的上表面中点重合 x轴的方向竖直向下 若以小球和平板发生碰撞的时刻作为0t 则平板在t时刻离开平衡位置的位移 PQcosxAt 10 是两个待定的常量利用参考圆方法 在t时刻平板振动的速度 PQsinAt 12因0t PQ0xPQV 12式可求得 22ghAT 13 14式代入 10 PQ22ππcos2π2ghxTtT15 碰撞后 小球开始作平抛运动 如果第一次碰撞后 小球再经过时间2t与平板发生第二次碰撞且发生在Q处 则在发生第二次碰撞时 小球的x座标为 2B2212xtgt 16 平板的x座标为 PQ2222ππcos2π2ghxtTtT 17 在碰撞时 B2PQ2xtxt18 代入有关数据得222π4 904 41cosπ2tt 19 这便是2t满足的方程式 通过数值计算法求解方程可得 参见数值列表 20 771st 20 如果第二次碰撞正好发生在平板的边缘Q处 则有 012Lutt 21 012046m sLutt 22 而满足题中要求的0u的最小值应大于 22 式给出的值 综合以上讨论 0u的取值范围是 00 46m s0 71m su 23 19式的数值求解 用数值解法则要代入2t不同数值 逐步逼近所求值 列表如下 2t 48224 90Bxt 21PQBxx 24届图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。AB 和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动 A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连 可绕连接处转动 类似铰链 。当AB杆绕A轴以恒定的角速度 转到图中所示的位置时 AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45 已知AB杆的长度为lBC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度ca的大小和方向 用与CD杆之间的夹角表示 参考解答 解法一 因为B点绕A轴作圆周运动 其速度的大小为 Bl B点的向心加速度的大小为2Bal 因为是匀角速转动B点的切向加速度为0 故Ba也是B点的加速度 其方向沿BA方向 因为C点绕D轴作圆周运动 其速度的大小用Cv表示 方向垂直于杆CD 在考察的时刻 由图可知 其方向沿杆BC方向 因BC是刚性杆 所以B点和C点沿BC方向的速度必相等 故有 Cπ2cos42l Bvv 此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动C点的法向加速度 2CCnaCD 其方向沿CD方向下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度 即切向加速度Cta 因为BC是刚性杆 所以C点相对B点的运动只能是绕B的转动 C点相对CB aCnaC aCB点的速度方向必垂直于杆BC 令CBv表示其速度的大小 根据速度合成公式有 CBCB vvv 由几何关系得 222222CBBCBl vvvv 由于C点绕B作圆周运动相对B的向心加速度 2CBCBaCB 因为2CBl故有 224CBal 式及图可知B点的加速度沿BC杆的分量为 πcos4BBBCaa 的加速度沿垂直于杆CD方向的分量2324CtCBBBCaaal 10 C点的总加速度为C点绕D点作圆周运动的法向加速度Cna与切向加速度Cta的合加速度 222748CCnCtaaal11 Ca的方向与杆CD间的夹角 arctanarctan680 54CtCnaa 12 解法二 通过微商求C点加速度 以固定点A为原点作一直角坐标系Axy Ax轴与AD重合 Ay与AD垂直 任意时刻t 连杆的位形如图所示 此时各杆的位置分别用 表示且已知ABl 2BCl 22CDl 3ADl ddt C点坐标表示为 cos2cosCxll sinsinsinCDABBCcoscoscos3CDABBCl 式对时间t求一阶微商代入π2 d1d2t10 式对时间t求二阶微商并代入上述数据 222d3d8t11 11式以及 ddt 的数值代入 222d5d8Cxlt222d7d8Cylt 所以 2222222dd74dd8CCCxyaltt 12 Ca与x轴的夹角为2222ddtan1 4ddCCyxtt 13 所以求得 arctan1 454 46 这个夹角在第三象限 为234 46 故Ca与CD的夹角 80 54 14 28届空间某区域存在匀强电场和匀强磁场 在此区域建立直角坐标系O xyz 如图所示 匀强电场沿x方向 电场强度iEE01 匀强磁场沿z方向 磁感应强度kBB0 E0、B0分别为已知常量 ki、分别为x方向和z方向的单位矢量。 1、有一束带电量都为 q、质量都为m的粒子 同时从Oyz平面内的某点射出 它们的初速度均在Oyz平面内 速度的大小和方向各不相同 问经过多少时间这些粒子又能同时回到Oyz平面内。 2、现在该区域内再增加一个沿z方向随时间变化的匀强电场 电场强度ktEEz cos 式中mqB0若有一电荷量为正q、质量为m的粒子 0时刻从坐标原点O射出初速度v0在Oyz平面内 试求以后此粒子的坐标随时间变化的规律。 不计粒子所受重力以及各带电粒子之间的相互作用 也不考虑变化的电场产生的磁场。 参考解答 根据题意粒子的初速度只有y方向和z方向的分量 设它们为0yv和0zv 因为粒子在z方向不受电场力和磁场力作用 故粒子在z方向以初速度0zv作匀速运动 粒子在Oxy面内的运动可以看作由以下两部分运动的合成 可把粒子在y方向的初速度表示为 001001yyyy vvvv 其中0010yEB 沿y负方向与01yv相关的磁场力 010BxyfqB 沿x负方向粒子受到的电场力 0EExffqE 式可知粒子在x方向受到的电场力和磁场力正好抵消 故粒子以大小为00EB的速度沿y负方向运动 除此之外 式可知粒子还具有初速度 00200yyEB vv 沿y正方向与02yv相关的磁场力使粒子以速率02yv在Oxy面内作匀速圆周运动 以r表示圆周运动的半径 202020yyqBmrvv 可得020ymrqB 式可得圆周运动的周期02mT qB 式表明粒子运动的周期与粒子在y方向的初速度无关 经过时间T或T的整数倍所考察的粒子就能同时回到Oyz平面 增加的电场2E对粒子在Oxy平面内的运动无影响 但粒子在z方向要受到此电场力作用 以za表示在此电场力作用下的加速度

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